Matemática discreta Ejemplos

$4 x + 3 y = - 9$ , $2 x - 3 y = - 16$

Paso 1

Resuelve $x$ en $4 x + 3 y = - 9$ .

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Paso 1.1

Resta $3 y$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = - 9 - 3 y$

$2 x - 3 y = - 16$

Paso 1.2

Divide cada término en $4 x = - 9 - 3 y$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $4 x = - 9 - 3 y$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 9}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$2 x - 3 y = - 16$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 9}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$2 x - 3 y = - 16$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 9}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$2 x - 3 y = - 16$

$x = \frac{- 9}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$2 x - 3 y = - 16$

$x = \frac{- 9}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$2 x - 3 y = - 16$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{9}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$2 x - 3 y = - 16$

Paso 1.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

$2 x - 3 y = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

$2 x - 3 y = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

$2 x - 3 y = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

$2 x - 3 y = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

$2 x - 3 y = - 16$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $2 x - 3 y = - 16$ por $- \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$ .

$2 (- \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}) - 3 y = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $2 (- \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}) - 3 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (- \frac{9}{4}) + 2 (- \frac{3 y}{4}) - 3 y = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{9}{4}$ al numerador.

$2 (\frac{- 9}{4}) + 2 (- \frac{3 y}{4}) - 3 y = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (\frac{- 9}{2 (2)}) + 2 (- \frac{3 y}{4}) - 3 y = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$2 (\frac{- 9}{2 \cdot 2}) + 2 (- \frac{3 y}{4}) - 3 y = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 9}{2} + 2 (- \frac{3 y}{4}) - 3 y = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

$\frac{- 9}{2} + 2 (- \frac{3 y}{4}) - 3 y = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 y}{4}$ al numerador.

$\frac{- 9}{2} + 2 (\frac{- 3 y}{4}) - 3 y = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{- 9}{2} + 2 (\frac{- 3 y}{2 (2)}) - 3 y = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 9}{2} + 2 (\frac{- 3 y}{2 \cdot 2}) - 3 y = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 9}{2} + \frac{- 3 y}{2} - 3 y = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

$\frac{- 9}{2} + \frac{- 3 y}{2} - 3 y = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{9}{2} + \frac{- 3 y}{2} - 3 y = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{9}{2} - \frac{3 y}{2} - 3 y = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{9}{2} - \frac{3 y}{2} - 3 y = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{9}{2} - \frac{3 y}{2} - 3 y = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $- 3 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{2} - \frac{3 y}{2} - 3 y \cdot \frac{2}{2} = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.3

Combina $- 3 y$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{- 3 y \cdot 2}{2} = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{9}{2} + \frac{- 3 y - 3 y \cdot 2}{2} = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 9 - 3 y - 3 y \cdot 2}{2} = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.6

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{- 9 - 3 y - 6 y}{2} = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.7

Resta $6 y$ de $- 3 y$ .

$\frac{- 9 - 9 y}{2} = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.8

Factoriza $9$ de $- 9 - 9 y$ .

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Paso 2.2.1.8.1

Factoriza $9$ de $- 9$ .

$\frac{9 (- 1) - 9 y}{2} = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.8.2

Factoriza $9$ de $- 9 y$ .

$\frac{9 (- 1) + 9 (- y)}{2} = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.8.3

Factoriza $9$ de $9 (- 1) + 9 (- y)$ .

$\frac{9 (- 1 - y)}{2} = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

$\frac{9 (- 1 - y)}{2} = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.9

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{9 (- 1 \cdot 1 - y)}{2} = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.10

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$\frac{9 (- 1 \cdot 1 - (y))}{2} = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.11

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (y)$ .

$\frac{9 (- 1 (1 + y))}{2} = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{9 (1 + y)}{2} = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{9 (1 + y)}{2} = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{9 (1 + y)}{2} = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

$- \frac{9 (1 + y)}{2} = - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $- \frac{9 (1 + y)}{2} = - 16$ .

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- \frac{2}{9}$ .

$- \frac{2}{9} \cdot (- \frac{9 (1 + y)}{2}) = - \frac{2}{9} \cdot - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $- \frac{2}{9} (- \frac{9 (1 + y)}{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{9}$ al numerador.

$\frac{- 2}{9} \cdot (- \frac{9 (1 + y)}{2}) = - \frac{2}{9} \cdot - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.2.1.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{9 (1 + y)}{2}$ al numerador.

$\frac{- 2}{9} \cdot \frac{- 9 (1 + y)}{2} = - \frac{2}{9} \cdot - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.2.1.1.1.3

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{9} \cdot \frac{- 9 (1 + y)}{2} = - \frac{2}{9} \cdot - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.2.1.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{9} \cdot \frac{- 9 (1 + y)}{2} = - \frac{2}{9} \cdot - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.2.1.1.1.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{9} \cdot (- 9 (1 + y)) = - \frac{2}{9} \cdot - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

$\frac{- 1}{9} \cdot (- 9 (1 + y)) = - \frac{2}{9} \cdot - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Factoriza $9$ de $- 9 (1 + y)$ .

$\frac{- 1}{9} \cdot (9 (- (1 + y))) = - \frac{2}{9} \cdot - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{9} \cdot (9 (- (1 + y))) = - \frac{2}{9} \cdot - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$1 + y = - \frac{2}{9} \cdot - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

$1 + y = - \frac{2}{9} \cdot - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.2.1.1.3

Multiplica.

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Paso 3.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (1 + y) = - \frac{2}{9} \cdot - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.2.1.1.3.2

Multiplica $1 + y$ por $1$ .

$1 + y = - \frac{2}{9} \cdot - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

$1 + y = - \frac{2}{9} \cdot - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

$1 + y = - \frac{2}{9} \cdot - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

$1 + y = - \frac{2}{9} \cdot - 16$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $- \frac{2}{9} \cdot - 16$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica $- 16$ por $- 1$ .

$1 + y = 16 (\frac{2}{9})$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.2.2.1.2

Combina $16$ y $\frac{2}{9}$ .

$1 + y = \frac{16 \cdot 2}{9}$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $16$ por $2$ .

$1 + y = \frac{32}{9}$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

$1 + y = \frac{32}{9}$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

$1 + y = \frac{32}{9}$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

$1 + y = \frac{32}{9}$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{32}{9} - 1$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{32}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.3

Combina $- 1$ y $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{32}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{32 - 1 \cdot 9}{9}$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$y = \frac{32 - 9}{9}$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.5.2

Resta $9$ de $32$ .

$y = \frac{23}{9}$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{23}{9}$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{23}{9}$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{23}{9}$

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{23}{9}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - \frac{9}{4} - \frac{3 y}{4}$ por $\frac{23}{9}$ .

$x = - \frac{9}{4} - \frac{3 (\frac{23}{9})}{4}$

$y = \frac{23}{9}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- \frac{9}{4} - \frac{3 (\frac{23}{9})}{4}$ .

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Paso 4.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 9 - 3 (\frac{23}{9})}{4}$

$y = \frac{23}{9}$

Paso 4.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1.2.1.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$x = \frac{- 9 + 3 (- 1) (\frac{23}{9})}{4}$

$y = \frac{23}{9}$

Paso 4.2.1.2.1.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$x = \frac{- 9 + 3 \cdot (- 1 \frac{23}{3 \cdot 3})}{4}$

$y = \frac{23}{9}$

Paso 4.2.1.2.1.3

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 9 + 3 \cdot (- 1 \frac{23}{3 \cdot 3})}{4}$

$y = \frac{23}{9}$

Paso 4.2.1.2.1.4

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 9 - 1 (\frac{23}{3})}{4}$

$y = \frac{23}{9}$

$x = \frac{- 9 - 1 (\frac{23}{3})}{4}$

$y = \frac{23}{9}$

Paso 4.2.1.2.2

Reescribe $- 1 (\frac{23}{3})$ como $- (\frac{23}{3})$ .

$x = \frac{- 9 - \frac{23}{3}}{4}$

$y = \frac{23}{9}$

$x = \frac{- 9 - \frac{23}{3}}{4}$

$y = \frac{23}{9}$

Paso 4.2.1.3

Para escribir $- 9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{- 9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{23}{3}}{4}$

$y = \frac{23}{9}$

Paso 4.2.1.4

Combina $- 9$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{\frac{- 9 \cdot 3}{3} - \frac{23}{3}}{4}$

$y = \frac{23}{9}$

Paso 4.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{\frac{- 9 \cdot 3 - 23}{3}}{4}$

$y = \frac{23}{9}$

Paso 4.2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.6.1

Multiplica $- 9$ por $3$ .

$x = \frac{\frac{- 27 - 23}{3}}{4}$

$y = \frac{23}{9}$

Paso 4.2.1.6.2

Resta $23$ de $- 27$ .

$x = \frac{\frac{- 50}{3}}{4}$

$y = \frac{23}{9}$

$x = \frac{\frac{- 50}{3}}{4}$

$y = \frac{23}{9}$

Paso 4.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{- \frac{50}{3}}{4}$

$y = \frac{23}{9}$

Paso 4.2.1.8

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - \frac{50}{3} \cdot \frac{1}{4}$

$y = \frac{23}{9}$

Paso 4.2.1.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.9.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{50}{3}$ al numerador.

$x = \frac{- 50}{3} \cdot \frac{1}{4}$

$y = \frac{23}{9}$

Paso 4.2.1.9.2

Factoriza $2$ de $- 50$ .

$x = \frac{2 (- 25)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

$y = \frac{23}{9}$

Paso 4.2.1.9.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 \cdot - 25}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

$y = \frac{23}{9}$

Paso 4.2.1.9.4

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot - 25}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

$y = \frac{23}{9}$

Paso 4.2.1.9.5

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 25}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$y = \frac{23}{9}$

$x = \frac{- 25}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$y = \frac{23}{9}$

Paso 4.2.1.10

Multiplica $\frac{- 25}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{- 25}{3 \cdot 2}$

$y = \frac{23}{9}$

Paso 4.2.1.11

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.11.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{- 25}{6}$

$y = \frac{23}{9}$

Paso 4.2.1.11.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{25}{6}$

$y = \frac{23}{9}$

$x = - \frac{25}{6}$

$y = \frac{23}{9}$

$x = - \frac{25}{6}$

$y = \frac{23}{9}$

$x = - \frac{25}{6}$

$y = \frac{23}{9}$

$x = - \frac{25}{6}$

$y = \frac{23}{9}$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(- \frac{25}{6}, \frac{23}{9})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(- \frac{25}{6}, \frac{23}{9})$

Forma de la ecuación:

$x = - \frac{25}{6}, y = \frac{23}{9}$

Paso 7